引言
低刚度零件或缘于薄壁和细长结构，或缘于材料弹性模量低，在切削过程中因切削力的作用产生变形误差，影响加工的精度和质量。因刚度低，在加工误差形成的诸要素中，切削力产生的力致加工误差贡献最大。研究低刚度零件数控加工导致的力致变形误差，以期根据误差计算结果，事先通过数控编程对数控机床的刀具轨迹作出补偿，提高加工质量和效率。显然，通过离线补偿提高工件加工精度的关键在于如何精确地计算工件的变形，Budak等通过控制单齿进给量的方法来控制加工误差，Cho等人在实验统计数据的基础上研究了简单零件的误差补偿方案。对于复杂形面，主要借助有限元法作为误差计算的手段，万敏等围绕铣削力建模和表面误差预测方法展开了研究，王志刚等借助有限元软件提出了航空薄壁方框零件铣削加工中的刀具补偿策略，陈蔚芳等完成了基于ABAQUS的薄壁件加工变形控制快速仿真平台开发，Ratchev等通过有限元方法对薄壁件铣削过程中的加工变形和表面误差进行了系列研究。
就低刚度零件力致加工误差离线预估的研究而言，有两方面研究需要深入：1)构建高效的误差计算数学方法。由于变形误差的计算至少取决于建立在切削工艺之上的进给量-切削力模型和基于结构力学的变形-切削力模型，进给量和变形量出现耦合，一般会形成复杂的迭代计算。应力求建立适用于不同切削工艺的数学迭代算法。(2)因切削过程是材料不断减少的过程，传统的做法需要不断重新构建几何形体和有限元网格，对动辄上千单元的计算而言，工作量庞大且需人工干预计算过程，极大地影响计算效率。本文将借助ANSYS参数化设计语言APDL(ANSYS ParametricDesign Language)，设计集误差迭代计算、刀具走刀、材料去除于一体的变形误差动态仿真程序，实现全过程加工误差计算的高效率自动运算。并通过简化的二维车削算例和三维矩形薄板铣削算例验证该程序的有效性和精度。
1 变形误差的有限元迭代算法
在此仅研究因切削力引起的工件变形，不考虑其他非切削力因素造成的加工误差。首先假设：1)加工过程中材料处于线弹性范围。2)材料是各向同性的。3)刀具是刚体，切削时不产生变形。4)不考虑切屑、振动、机床等造成的其他误差。
低刚度零件在走刀过程中产生的力致变形误差，可以用一系列的离散的样点的变形误差来表达，也就是说连续的刀具轨迹可以由有限个样点逼近，所取样点的密集程度根据刀具轨迹的曲率变化程度而定。【图1】 每一个样点的变形误差计算取决于建立在切削工艺之上的进给量-切削力模型和基于结构力学的变形-切削力模型，即：切削力模型，取决于采用的切削工艺，已有大量建立在理论和实验基础上的模型。2)变形模型，反映工件在切削力作用下发生的变形，取决于工件的几何结构。该模型以建立切削点变形与切削力的数值关系为目标，应以高精度的、有良好前置和后置功能的有限元软件为计算工具，与切削力模型联立确定误差量，如图2所示。因工艺参数、切削力、工件和刀具变形之间的关系复杂，尤其是进给量与变形量之间的耦合，使得误差计算过程表现为数学迭代趋近的过程，最终根据误差容限确定误差值。【图2】 由图2可知，求误差的关键是要找出力切削模型和变形模型曲线的交点，因此需要探讨高效的迭代趋近办法。计算流程如图3所示。
加工误差计算的数学迭代方法决定了数学模型的正确性、误差计算的精确性和计算方法的效率。设计的迭代过程归纳如下：【图3】 1)设当前样点的名义进给量矢量为t，根据切削工艺和进给量-切削力的数学关系，得出当前样点在名义进给量下的切削力矢量F0：F0=f(t) (1)不同的切削工艺f(t)的函数表达不同。
2)根据切削力类型和工件几何结构，建立反映切削力-变形关系的理论或数值力学模型，当切削力F0作用于样点时，会产生一定的变形矢量Δ1。
设变形处于线弹性范围，则变形Δ1可以一般地表达为：Δ1= F0/K (2)K为结构的刚度矩阵。对于轴类零件的车削等简单切削工艺，上式可能得到显式的解析解。对于其它形态的工件和加工工艺，很难得到解析表达，通常需要借助有限元方法。
3)由于因切削力发生工件变形，实际切削矢量减小为t-Δ1，对应的切削力矢量减小为F1：F1=f(t-Δ1) (3)4)当用切削力F1代替名义切削力F0作用于样点时，再次根据变形模型计算出当前的变形矢量Δ2：Δ2=F1/K (4)【5】 2 软件实现
图3的计算单元是针对某一样点，迭代过程中切削力模型和变形模型中的参数会发生变化，需要重新计算；而连续的刀具轨迹要由一系列离散样点来逼近，因切削是一个连续走刀和材料去除的过程，工件的几何参数、刚度随时间变化，导致有限元网格的动态变化。因此，全走刀过程加工误差计算表现为一个时序动态过程。本文借助ANSYS有限元软件，设计集上述变形误差迭代算法、模拟刀具走刀和去除材料的动态切削集成程序。图4为全走刀过程变形误差动态计算程序流程图，由前处理输入模块，边界条件加载模块，去除材料模块，计算分析模块和结果存储模块等多个关键模块组成，因为涉及到切削力模型、变形模型和网格变化的相互影响，几个模块之间需要不断进行数据反馈和相互调用，主要包括以下两个循环：1）每一次迭代，边界条件和加载模块根据反馈数据更新切削力，实施重新加载和有限元计算；2）去除材料模块改变工件形状和刚度后，沿刀具路径开始下一位置的变形计算。
1)前处理模块。在ANSYS环境中创建实体模型或者从其他软件(比如CAD)中导入创建好的实体模型。实体模型转化为有限元分析模型时需要定义材料特性，如材料的杨氏模量和泊松比等；定义单元属性，包括单元类型、单元尺寸、有限元网格划分方式等内容。
2)边界条件和加载模块。该模块包括自由度约束和载荷施加。切削仿真中，工件的约束条件取决于工件的装夹方式。由于切削机理的复杂性，很难准确模拟工件切削力的分布状态，一般简化为集中载荷加载到刀具和工件接触线的中点上。载荷的大小和方向由切削力模型确定，每一次迭代加载时会随着切削深度的变化不断更新，切削力的确定和加载根据步骤(3)反馈的数据，是实现变形量迭代算法的关键环节。
3 ) 计算分析模块 。 进行计算求解 ， 通过ANSYS后处理模块提取并分析节点的变形。比较该节点前后两次仿真的变形量之差，若在所要求的精度范围内，该节点结束迭代过程，存储最终变形量，并转入步骤(4)；否则删除原先加载的载荷，根据变形量更新切削力的大小和方向，转入步骤(2)。
4)去除材料模块。采用ANSYS提供的生死单元技术，当上一切削位置通过迭代算法获得最终变形量后，利用生死单元技术去除该位置应被切削的单元，并根据预先设置好的刀具路径将载荷移至下一样点加载，重新开始变形量的计算，即转入步骤(2)，当所有切削位置分析完成后，结束整个加工仿真过程，转入步骤(5)。该模块省去了不断构建几何模型、网格划分、刚度矩阵计算等繁复过程，显着提升计算效率。
5)结果存储模块。将结果数据以图线、表格等方式表现出来，并以特定的格式存储，以便进行下一步的刀具补偿和数控编程。【图4】 为了建立高度集成的程序，采用ANSYS参数化语言APDL。APDL（ANSYS Parametric DesignLanguage)是专为ANSYS设计的解释性计算编程语言，通过APDL和宏命令可以将ANSYS的命令流组织起来，形成一个灵活的功能较强的设计程序，提高分析的效率。
通过APDL中的条件和循环语句能够实现切削力的重新赋值和重复加载，以及沿刀具路径更新节点加载位置。该程序的APDL关键代码如下： “*DOWHILE,a ! 循环开始 time,i ae=...! 定义名义切削深度 deection=Uy(Node) ! 得到上一步的变形量 fc=... ! 将变形量输入切削力模型得到新的切削力并加载到模型上 ... solve deection next=Uy(N) ! 得到新的变形量 e=abs(deection next)-abs(deection) ! 计算误差范围 *if,e,ABGT,...,then ! 判断误差是否在要求范围内，若是结束循环，否则进行下一步迭代 i=i+1 fdele,all,all !删除切削力 ap=ae-deflection next !根据误差确定新的切削深度 a=1$*else$a=-1$ *endif*ENDDO ! 结束循环 在该平台编译的低刚度工件加工误差程序将在下文算例中分别与解析解、有限元解、实验值等作比较，考察其收敛性和精度。
3 算例和精度验证
算例一：首先以简单的二维车削为算例，因其有精确解，可以对有限元迭代算法予以验证。
如图5所示，将低刚度工件看作一端固支一端自由的悬臂梁，车削时工件受到x和y方向的作用力（图上标出x和y坐标），由于沿x方向分力对变形影响较小，可以忽略不计。因此车削力简化为y方向的集中载荷加于梁上并沿轴线移动，以模拟刀具走刀。该算例可以根据下述方法求出变形量的理论解。算例参数：工件长100mm，半径为5mm；杨氏模量E=70MPa，泊松比v=0.33。【图5】 假设工件在车削力的作用下实际挠曲变形为，荷载在梁上移动时，悬臂梁挠曲线方程为：【图6】 由车削力经验模型[9]，车削力与变形量的关系为：【7】 其 中 ， KF为 切 削 力 相 关 参 数 ， 取KF=321.768，t是名义切削深度，t=2mm。显然，对于简单的二维车削，由式(6)和(7)联立求解可以避免复杂的迭代算法而直接求出实际变形量 ，此为精确解。同时，根据有限元迭代算法，有限元仿真时选用梁单元beam3，网格尺寸设为5mm。精确解和有限元迭代结果的比较如表1所示。【表1】 在不同的切削点，变形量经过四步迭代后都快速收敛到一个稳定的数值，且第四次迭代后误差仅为万分之一。结果说明两点：1)迭代算法收敛快，精度高。对于大数据计算的有限元方法，收敛快具有重要意义；2)通过APDL平台开发的集成程序实现了全走刀过程加工误差的自动计算，表明设计的APDL程序有效。
算例二：以文献[7]中的三维铣削为例，来验证本算法和程序在更为复杂的三维铣削仿真上的有效性和精度。如图6所示，所要分析的矩形薄板（ 材 料 为 铝 镁 合 金 ） 参 数 为 ： 几 何 尺 寸150mm × 80mm×5mm；杨氏模量E=69MPa，泊松比v=0.33。选用solid45实体单元，单元尺寸设为1mm，总共划分了60000个单元，采用的圆柱铣刀刀具参数为：每齿进给量 fmmzz= 0.2/，径向切深amme=2,轴向切深 ammp= 24， 齿数 z = 3mm； 铣刀直径d 20mm0= ，铣刀螺旋角30，铣削方式为顺铣。
铣削力模型选用圆柱铣刀铣削力的经验公式[9]：【8】 其中，铣削力系数Cf=167，修正系数kf=167。作用在工件上的铣削力Fc，其纵向进给力Ff、横向进给力Fe和垂直进给力FfN等三个互相垂直的分力（三个分力的方向分别对应参考坐标系中的x，y，z方向，标出来）有如下比例关系：【8..】【图6】 如图6所示，铣削力初始加载位置与文献[7]中三维算例相符，为刀具工件接触线FP的中点N，薄板底面采用全约束工件夹紧和定位装置。为了反映动态切削过程，本文沿加工路径PO设置10个样点，间隔为1mm，程序在每一样点处依次完成铣削力加载，生死单元选择和迭代分析计算，验证该动态模型的可行性，仿真结果中，由于x、z方向变形量很小，可以忽略不计，只给出在y方向（法向）的变形量。【表2】 表2给出了第一个切削位置处P、N两点每一步迭代后的变形量，及加载切削力的大小。与Ratchev[7]的计算结果进行比较可以看到，两种算法所得的变形量相近，且与实验值接近。考虑到本文切削力模型的某些参数与Ratchev有差异（文献[7]中的一些切削参数未给出）、切削过程简化、实验误差等因素，这个误差范围已经很理想，可以认为本文方法可以有效地对三维切削过程进行变形误差计算。
下面考察不采用迭代算法（即以名义进给量计算变形）可能产生的误差。分别用非迭代和迭代算法计算了沿y轴为150mm、x轴分别为0～10mm处的变形值，如图7所示。可以看出在同一点的变形值的结果相差达到25%，由此可见迭代算法对低刚度工件加工误差计算的必要性。【图7】 此外，切削过程为材料不断去除、工件刚度不断降低的过程。为了考察该切削仿真程序的去除材料模块对于结果精度造成的影响，分别用去除材料和不去除材料的方法计算了沿y轴为150mm、x轴分别为0～10mm处的变形值，如图8所示。可以看到，随着切削进程，两条曲线的差值不断增加，说明在切削过程中，材料去除的越多，对于工件刚度的影响越大，说明借助生死单元技术可以有效地减少因刚度改变而造成的计算误差。【图8】 4 结论
1)依据基于切削原理的进给量-切削力模型和基于结构力学的变形量-切削力模型，针对进给量与变形量的耦合效应，设计了加工误差的数学迭代算法。二维车削和三维薄板铣削算例的结果表明，迭代收敛快，精度高。对于大数据计算的有限元方法，收敛快具有重要意义。
2)基于有限元软件ANSYS的参数设计语言APDL开发了全走刀过程误差计算的集成程序，完整地实现了样点变形迭代计算、刀具走刀和去除材料的切削过程仿真，实现了全过程误差分析的自动计算。
3)根据该动态模型计算出各样点的误差值，拟合成误差曲线，以此修正名义刀具轨迹，通过数控编程设定实际的刀具轨迹，最大限度地消除加工误差。此探索为低刚度工件的数控加工误差补偿提供了技术路径，对数控加工误差补偿的智能化有基础性意义。