电子商务中最优网络拍卖方案

　　

内容摘要：本文研究了电子商务环境中，当拍卖参与者不确定时拍卖人的最优拍卖方案的设计和特征。我们用泊松过程来描述拍卖参与者得到达，比较了两种拍卖的停止规则下的最优拍卖，并用例子进行了说明和比较。

关键词： 拍卖 泊松过程 停止规则


拍卖这种交易方式有着悠久的历史，拍卖这种交易方式起源很早，根据记载公元前500年的中亚巴比伦地区，男人们通过拍卖的方式来得到妻子。拍卖在古罗马也很盛行，人们用拍卖的方式出售战利品，货物，地产甚至王位。关于拍卖的形式和历史，在Cassady(1967)的书中有很详细的记载，可惜这本书国内不易见到。古往今来，被拍卖的物品也形形色色，从古玩字画到日常用品，从农产品到海鲜，政府债券，营业执照，电波频率的各种有形无形的物品无所不报。最近几年，拍卖被用来出售政府资产，电信执照以及电力市场的产品引起了人们的关注。另一方面，因特网和电子商务的发展，网络拍卖也日渐兴盛。不但出现了专业的拍卖网站，许多交易也采用拍卖的方式。

拍卖理论是最近二十年蓬勃发展的经济学分枝，1996年现代拍卖理论的奠基人Vikery获得了诺贝尔经济学奖就是一个重要的标志。拍卖的方式起源很早，但是有记载的理论研究却是从上世纪的五六十年代开始的。Vikery提出了正式的拍卖模型，并得到了著名的“收益等价原理”。Vikery的模型是私人价值(Private value)模型，不久之后，Wilson提出了公共价值模型(Common value)，对于各种拍卖的研究出现在各种管理学的杂志中。到了八十年代，拍卖理论的研究也出现了新的重要进展。Reliey和Samuelson(1981),Myerson(1981)同时证明了更加一般的“收益等价原理”：在任何两个不同私人价值拍卖模型中，如果物品总是由评价最高的人得到，并且评价最低的人在两个模型的收益是一样的，那么这两中拍卖产生相同的预期收益。而且，Myerson(1981)也证明了一般的最优拍卖机制的设计要满足的条件。同时，Milgrom和Weber(1982)提出了“Affiliated Value”模型，统一了私人价值和公共价值模型，为拍卖理论的研究提供了新的框架。

收益等价原理成为拍卖理论发展的基准，之后的理论进展在于放松假设原理的假设条件。收益等价成立的条件有：（1）参与者风险中性。不论是拍卖者（auctioneer）,还是竟价者（bidder）都是风险中性。（2）只有一件物品拍卖。（3）不同竟价者对拍卖品的评价是独立的私人评价，不受其他人评价的影响。（4）竟价者之间不存在合谋和勾结。（5）竟价者之间是对称的，他们的评价有相同的分布，对于拍卖的结构有相同的信息。同时，文献提出了四种标准的拍卖模型：英式拍卖，荷兰式拍卖，第一价格拍卖和第二价格拍卖。其中。前两种拍卖是公开拍卖，后两种拍卖是密封价格拍卖。在所有放松收益等价原理条件的研究中，往往考察四种标准拍卖的收益比较情况，得到的结论有时是英国式拍卖最优，有时是第一价格最优。拍卖的机制设计有重要的影响，没有普遍最优的拍卖方式。一方面，随着上世纪九十年代政府用拍卖的方式来颁发电信执照，电力管制和进行公用事业的私有化，现实的经济现象对拍卖理论提出了新的问题；另一方面，随着理论的进展，拍卖理论的研究突破了单一物品拍卖的研究，讨论同时多单位产品同时拍卖的问题。早期的研究中关注的是各种拍卖形式的收益问题，逐渐转移到讨论最有效率的拍卖的问题：即拍卖的结果是对物品评价最高的竟价者获得拍卖品。这反映了在政府主持的拍卖中效率问题是考虑的关键，是理论和实践结合的显著例子。

不但政府方面重视拍卖，随着电子商务和网络交易的发展，网上拍卖的日渐发展对理论也提出了要求。在最优拍卖理论的研究中，拍卖的参与者的数目是固定的。从机制设计的角度来看，拍卖就是一组规则，决定拍卖的嬴家和所有参与者的支付，Myerson(1981)证明的一般最优拍卖机制中参与者的数目就是固定的。在重要物品的拍卖时，通常要有一段筹备时间，为传播拍卖的消息以便吸引足够的竟价者，使拍卖顺利进行。但是在网络的环境中，参与拍卖的参加者是可以变化的，拍卖的参与者受浏览拍卖网页的人数的影响，可以认为这是一个随机变量，因而在拍卖的设计时要考虑这个因素。对于这种情况，我们可以用下面的一个例子来说明。假设你有一台随身听，现在的潮流是听各种款式的MP3播放机，你也想加入潮流之中，但是你的现款不够。这时，你想到把随身听卖掉。你经常上网，知道网上拍卖很流行，你就想把它拍卖掉。你需要钱，希望随身听越快卖掉越好，但是你也希望能卖一个好价钱。你开始拍卖时不知道会有多少人参加拍卖，但你知道上网的人中参与你的拍卖的人有一定的分布。你可以确定拍卖持续的时间来进行拍卖，你也可能等不急，只要有一定的参与者可以结束拍卖。这样，就有两种不同的规则可以结束拍卖，在这不同的规则下，最优的拍卖应当是什么样的形式？由于参与者到达是随机的，你要在人数和时间之间进行权衡。

本文研究这样一类模型，参与网上拍卖的竟价者服从泊松过程，拍卖者具有时间偏好的情况下，两种拍卖结束规则下的最优拍卖设计。第一种规则是“定时规则”：规定拍卖开始和结束的时间，拍卖持续的时间是事前规定的，在拍卖进行的时间内，参与者服从泊松分布。第二种规则是“定员规则”：规定拍卖开始的时间和参与者数目，当拍卖持续到参与者达到规定的数目时拍卖结束。在文章接下来的部分中，第二节模型的基本定义和假设。为了便于比较和分析，第三节是参与者数目固定时最优拍卖机制的设计，第四节和第五节分别讨论“定员规则”和“定时规则”下的最优拍卖机制设计问题，第六节是一个例子，最后一节是对文章的总结和评注。

二 、模型

这里我们使用私人价值的框架，参与者都是风险中型的，只拍卖一单位的物品。对于此物品，拍卖者的估价为 ，拍卖者的贝努利函数 ，这里 是拍卖者的时间偏好率， 是拍卖结束的时间，我们假设拍卖结束时，得到收入 。这样，拍卖者的效用函数 = ，这里 ，其中 表示“定时规则”， 表示“定员规则”，不同的规则下有不同的参与者数目和拍卖结束时刻。
我们假设当拍卖开始后，到达的买者的数目服从参数为 的泊松过程 ，即有：（1） ；
（2） ；
（3） 有独立增量的性质。
这里，我们记拍卖开始的时刻为0， 表示到时刻 时买者的数目。 是泊松过程的参数，表示单位时间到达的人数。下面我们定义拍卖的停止规则：
“定时规则”是一个实数 ，表示拍卖持续到时刻 停止，拍卖者决定拍卖停止。 （2.1）
“定员规则”是一个整数 ,表示当参与者的数目达到 时，拍卖者决定拍卖结束。 （2.2）
我们可以看到，在“定时规则”下，拍卖持续的时间是固定的，但是参与者的数目是不确定的，根据泊松过程的性质我们知道在有限的时间内参与人数也是有限的；在“定员规则”下，参与者的数目是确定的但是拍卖持续的时间是不确定的。我们令 表示在“定员规则”下拍卖结束的时刻，则根据泊松过程的性质我们知道 服从参数为 和 的伽马分布，分布密度函数为 ， ，平均等待时间 为有限值。
令 表示拍卖结束时竟价者的集合。 表示拍卖参与者的数目，在不同的规则下， 有不同的含义。在“定时规则”下， 是个随机变量， 。在“定员规则”下 = ，是一个固定的数。
对于每一个 ，参与者 的私人评价为 ，贝努利函数 。这里 有连续分布 表示评价小于 的概率，具有连续密度函数 ，分布的支撑为 = ， 在 上严格正。同时，我们假设 是 的单调增函数。我们用 表示拍卖结束时所有可能的参与者类型组合的笛卡儿集， 。。对于每个 ，我们用 表示其他参与者所有可能的类型组合。我们假设参与者之间的评价是独立的，并且都独立于到达的泊松过程 。

三、固定数目参与者的最优机制

根据显示原理（revelation principle）(Myerson,1981)我们可以考虑直接显示机制。拍卖者设计每个参与者得到物品得到概率 和支付 满足：
， 和 （3.1）
在拍卖结束时拍卖者根据每个参与者报告他的私人评价，计算 和 ，我们用 表示概率组合， 表示参与者的支付组合。这样，一个机制就是 组合。
在这样一个机制下，参与者 报告时的预期赢得物品的条件概率为 ，条件预期支付为 。参与者 的效用函数为 = - ，由于参与是自愿的，任何可行的机制都要满足参与者的参与约束 ：对 ， ，有 （3.2）
在这个机制下我们这里考虑的拍卖人面对固定个数的买者，这里拍卖人面对的不确定性只是卖者评价的不确定性，拍卖人的收入为
（3.3）
由于参与人对拍卖品的评价为私人信息，任何机制都必须使得参与者真实报告是一个Nash均衡,满足激励相容机制:
- 对任意的 ， ， （3.4）
这样，在拍卖的直接机制中，一个可行机制就是 组合满足（3.1）（3.2）（3.4）。
使用通常的技巧，充分的利用激励相容约束我们可以得到下面的引理：
引理 1 是可行机制当且仅当下面的条件满足：
如果 ，那么有 ， 、 ， （3.5）
， ， （3.6）
（3.7）
以及 ， 和 （3.1）
这个引理充分刻画了可行机制的特征，这样拍卖者的问题就是选择满足引理1的机制，来最大化他的预期收益 （3.3）。利用条件（3.6）和 ， 的定义我们得到拍卖者的收入为
= （3.8）
这样一来，拍卖者的问题就是在满足约束（3.1）（3.5）（3.7）的机制 中选择来最大化收入（3.8）。解这个最大化问题，由于问题关于 是凹函数，而且是线性的，我们在 上逐点最大化就得到了引理2， 就是拍卖人的最优机制。
引理 2 是最优机制当且仅当 满足约束（3.5）（3.1）最大化
并且 ， ， （3.9）
（3.7）
以及 ， 和 （3.1）

这样，由引理2和我们关于参与者评价分布的假设就得到固定数目参与者时的最优拍卖机制。我们可以知道， ，由于是 线性函数，因而 > 时，拍卖人保留物品不予售出，仅当 > 时， >0。 可以解释为边际收益，只把物品分配给具有最高边际收益的买者。由于我们假设 是单调递增的，对任给 ，最优机制就是最大化 同时满足约束 ， 。由 的单调性，我们可以知道 也是单调的，因而满足约束（3.5）。
为了得到参与者的支付函数，对任何关于其他人的估价的向量 ，我们定义
， 是参与者 相对于 的最小成功出价。这样我们就可以根据（3.9）和上边的分析得到下面的推论。

推论1 当参与者数目固定时，最优拍卖机制的结构如下：
参与者获得成功的概率 满足：

参与者的支付
最优机制满足具有最高边际评价的买者的到物品，他的支付是最小获胜评价。由于分布是连续的，出现相同边际评价的概率为0。

四、“定员规则”下的最优机制

这里和整篇文章一致，我们假设拍卖者有完全的承诺能力（full commitment）,拍卖者对物品的评价是公共知识。在“定员规则”下，拍卖人在事前就确定了拍卖的参与人，拍卖人对参与者的人数没有不确定；拍卖人在这时不确定拍卖停止的时刻。由于买者到达的时刻和他的信息的分布是独立的，因而拍卖人在拍卖停止时的参与人数事固定的，因而在给定人数时，第三节的推论1的机制是最优的。
由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于前边的参与者人数是固定的，在这时我们要选择拍卖的结束人数。这时，一个可行的拍卖机制就是一个三元组（ ， ， ），其中 满足约束（2.2），给定 ，（ ， ）满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。
从第二节我们知道 = ，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道 和 是独立的，因而对任一可行机制有：
= = （4.1）
这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（4.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定 ，计算最优机制得到 和（ ， ）,这里（ ， ）满足推论1。第二步我们计算最优的 最大化导出的效用 = ，就可以得到最优的停止人数。
这样我们就得到：
引理 3 “定员规则”下的最优机制是如下的三元组（ ， ， ），满足条件：
（1） ；
（2）给定 ，（ ， ）满足推论1。
由于 ，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，不易得到一般的结论。后面在第六节我们用例子来说明机制的结构。简单分析可以知道，时间偏好对机制的选择有影响。前边我们也看到，时间偏好对分配机制的影响只是通过停止规则来发生作用。

六、“定时规则”下的最优机制

和“定员规则”不同，在“定时规则”下拍卖结束时拍卖参与人的数目时不确定的。拍卖人在事前确定了拍卖的停止时刻，拍卖人对参与者的人数是不确定的；拍卖人对拍卖停止的时刻的选择就是对参与人数概率分布的选择。由于买者到达的时刻和他的信息的分布时独立的，同样拍卖人在给定拍卖停止时的参与人数固定时，第三节的推论1的机制是最优的。
由于在“定员规则”和第三节分析的不同之处在于后者的参与者人数是固定的，在这里我们要选择拍卖的结束时间。不同的结束时间对应着结束时参与人数不同的概率分布。
“定时规则”下一个可行的拍卖机制就是一个三元组（ ， ， ），其中 满足约束（2.2）。这里，与前边的不同之处在于，拍卖者事前无法确定结束时刻买者的数目，于是它的可行的配置必须对每一个可能的参与者数目都给出规定。（ ， ）= 就是结束时刻人数的函数，对于每一个给定 ， 满足引理1。此时的可行机制由停止规则，物品分配概率向量和支付向量组成。
从第二节我们知道 = ，由于评价和到达时间是独立的对任意可行的机制，我们知道 是事前选择的，因而对任一可行机制有：
= （5.1）
这里我们看到，拍卖者获得收入的时刻时确定的这样，拍卖者就可以在可行机制中进行选择最大化他的效用（5.1）。这一目的可以通过两步来的到，首先给定 ，计算最优机制得到最优机制下的条件效用 和条件最优机制（ ， ）,这里（ ， ）满足推论1。第二步我们选择最优的 来选择参与人数的分布莱最大化的效用 = ，就可以得到最优的停止时间。
这样我们就得到：
引理 4 “定时规则”下的最优机制是如下的三元组（ ， ， ），满足条件：
（1） ；
（2）给定 ，对结束时刻的任意人数 , 满足推论1。
由于 ，不一定具有可微性，同时没有明确参加者评价的分布函数时，我们选择停止时刻是在不同概率分布之间选择，我们可以预料这使得最大化问题更复杂。我们甚至不能一般性的证明解的存在性。在第六节我们用例子来说明机制的复杂性。

七、一个简单的例子

这里，我们假设买者是对称的，他们的私人评价服从相同的分布，都是服从 区间上的均匀分布。拍卖者对拍卖品的估价为 =0。
（i）在给定参与者人数为 的时候，我们可以计算出拍卖者最优的预期收益 = ，同时，我们可得到最优的概率分配机制，
， ， (7.1)
我们可以看到评价最高的参与者获得了拍卖的胜利。此时最优的支付为
， (7.2)
这里， ={1，2，…..，n}表示买者的集合,胜者的支付为最高的失败价格。这和通常的第二价格拍卖是一致的，可以通过第二价格拍卖来执行最优机制。
(ii)在“定员规则”下，我们计算最优的机制。首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时的期望收益为 = ，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数
= =
接下来选取停止人数最大化 ，我们得到 。从这里我们可以看出，最优停止人数的选择受拍卖人的时间偏好和买者到达特征决定的。当 ，有 ，当拍卖人没有耐心时，他会和遇到的第一个人交易，他的期望收益为0。当 ，有 ，拍卖人不存在时间偏好的时候，他会充分利用买者的特征，等待足够多的买者，得到更大的效用。在本例中，当 ， 时，拍卖者可以得到最高的收益1。但是为了得到这一收益，拍卖者的平均等待时间要接近取穷大。
（iii）在“定时规则”下，首先，给定任一可行的停止规则，我们可以计算得到停止时参与人数为 = 时的，期望收益为 = ，这样，在这种规则下。拍卖者的效用函数
= = =
我们可以看到，简化的效用函数是关于停止时刻 的一个复杂的超越函数，我们没有办法得到关于最优停止时间的解析解，但是如果知道具体参数的值，我们可以用数值解法来得到最优的时刻。为了说明最优时刻的存在性，我们去参数 ， ，作图如下，说明确实存在最优的时刻。这一性质是普遍成立的。
=Exp[-0.5t](1 – 2(1 - Exp[-2t])/(2t)), {t, 0, 10}
当然，我们可以假设其他的分布函数计算最优拍卖机制的特征，不同的停止规则造成拍卖结束时不同的参与人数分布，这是本文考察的两类停止规则的最大的不同。

八、结语
拍卖理论仍然是一个具有广泛发展前景的研究领域，仍然有许多为解决的问题需要讨论同时随着拍卖实践的发展，也不断的出现新的问题。本文假设参与拍卖的买者服从泊松分布，比较了两种不同停止规则下的最优设计问题。本文没有涉及的一个问题是这两种规则是否等价：即给定一种规则下达到的效用，存在另一种规则下的一个选择达到同样的效用；或者这两种规则中的一种带来更大的收益。更进一步的，是否存在一个一般的最优的停止规则，而不仅仅局限在这两种规则中进行选择？这需要进一步]研究的方向。
另一方面，本文没有涉及的内容是买者的策略问题，即没有考虑最有机制如何实施的问题。本文中，买者只是被动的报告评价。如果买者到达是外生随机的，在许多常用的拍卖形式中就会有一个买者选择出价时间的问题。这在“定时规则”下就是买者出价时间的选择，这超出了本文的框架。对于这一现象的研究可以参看Roth(1999)文章对于Ebay和Amzon两大拍卖网站的拍卖中买这出价时间现象的有趣分析。

参考文献：
Cassady , Ralph, “Auctions and Auctioneering.” Berkeley: University of California Press, 1967.
Milgrom, Paul and R. Weber: "A Theory of Auctions and Competitive Bidding," Econometrica, 1982, 50, 1089-1122
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Riley, J. and W. Samuelson: "Optimal Auctions," American Economic Review, 1981, 71, 381-392.
Vickrey, W.: "Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders," Journal of Finance, 1961, 16, 8-37
Wilson, Robert (1967) “Competitive Bidding with Asymmetric Information” .Management Science, 13, A816-20
: Roth, Alvin E. and Axel Ockenfels "Last-Minute Bidding and the Rules for Ending Second-Price Auctions: Evidence from eBay and Amazon Auctions on the Internet,"American Economic Review, 92 (4), September 2002, 1093-1103.