1. 设计基础
随着《新课标》的推行与考试方式的转变, 以培养学生的发现思维能力与解决问题能 力作为新的重点[1] , 而“归纳猜想证明”这一思维方式作为培养学生这两方面能力的一个有效途径. 所谓“归纳猜想证明”是指当一个问题涉及到相当多的乃至无穷多的情形时, 可从问题的简单情形或特殊情况入手, 通过简单的情形或特殊情形的试验, 从中发现一般规律, 做出对问题的某种合理猜想, 再经由一定的逻辑推理验证猜想. [2] 其思维过程是: 从特殊情况入手 → 探索发现规律 → 总结归纳 → 猜想结论 → 验证结论. 而这种猜想需以自己已有的知识和 经验为基础[3] . 这种已有的知识经验就是数学活动经验. 数学活动经验作为我国义务教育阶段数学教育 教学的一个直接目标. [4] 数学活动经验是指学生从自身经历的数学活动的过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、观念等内容经验. [5] 文章以学生已有的数学活动经验作为设计的基础、而“归纳猜想证明”作为学生探究问题的方式.
2. 设计缘由
北师大版八年级下第六章的《探究边形的内角和与外角和》这一节是探索性问题的课型[6] , 课题本身就决定了这应该是调动学生积极性, 充分讨论, 探索方法与结论的一堂课; 但, 笔者从阅读的很多关于本章节设计的文章中发现, 对于这节探究课的教学设计主要存在两个问题:(未能体现边形转化成三角形的自然性;(未能根据已有数学活动经验挖掘结论中的数据特征寻找边形内角和公式的证明策略. 基于对这两个问题的思考, 笔者以边、角两个基本量作为设计的切入点, 以期在解决这两个问题的同时, 向学生渗透递推思想, 提升现有知识.
3. 设计思路
三角形内角和为 180◦ 是探究 n 边形内角和的基础, 四边形作为三角形和多边形之间的关键衔接点, 对其的探究尤为重要, 笔者从三角形与 n 边形衔接的自然性角度出发, 设计如下教学思路:
3. 1 利用数学活动经验, 探究转化的自然性环节⃝1 : 八年级学生对学过的 180◦ 和 360◦ 这两个数据已经有一定的认识, 通过直接引导学生回顾旧知: 三角形的内角和为 180◦ , 1 平角 = 180◦ , 1 周角 = 360◦ ; 以及长方形、正方形等特殊四边形的内角和为 360◦ 等知识时提出问题 (1): 那任意四边形的内角和是多少呢?
3. 1. 1 探究任意四边形的内角和探究问题 (1): 根据学生已有三角形内角和为 180◦ 的数学活动经验, 因任意的四边形是由基本的边、角构成; 故自然从角、边两个方面探究其与三角形的转化: (1) 从角出发: 如图, 任意四边形 ABCD, 利用几何画板, 将四边形的顶点 A 向内移动至 O 点, 此时四边形的一内角 ∠A 增大为平角; 则四边形 ABCD 转化成了一个三角形 △BCD 和一个平角, 故知任意四边 图 2 形的内角和为:∠1 + ∠2 + ∠3 + 180◦ = 2 × 180◦ = 360◦ . (2) 从边出发: 如图, 任意四边形 ABCD, 利用几何画板将 A 点沿着 AB 方向运动至 B 点时, 四边形的 AB 边的长度缩小为 0, 形成线段 BD; 然后, 比较原图得到任意四边 图 3 形 ABCD 被转化成了 △BCD 和 △ABD; 因此, 得到四边形 ABCD 的内角和为:(∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5 + ∠6) = 2 × 180◦ = 360◦ .
3. 1. 2 探究任意五边形的内角和探究问题 (2): 学生此时已具有三角形内角和为 180◦、四边形内角和为 360◦ 等数学活动经验; 因此, 对于任意五边形内角和的探究存在多种情况: 方案 (一): 只基于三角形内角和为 180◦ 的数学活动经验; (1) 从 角 出 发: 如 图, 任 意 的五边形 ABCDE, 当 B, D 两点同时向内移动至 ∠B, ∠D 都增大为平角时; 五边形自然转化成一个三角形 △ACE 以及两个平角; 所以, 任意五边形 ABCDE 内角和 图 4 为:(∠1 + ∠2 + ∠3) + 180◦ + 180◦ = 3 × 180◦ . (2) 从边出发: 如图, 对于任意五边形 ABCDE, 当其两点 B, D 分别沿着 BA、DE 分别运动至 A, E 点时, BA、DE 两边的长度缩小为 0, 形成线段 AC, CE, 通过与原五边形 ABCDE 比较可知, 五边形被转化成了 △ABC、△ACE 以及 △CDE 图 5 三个三角形; 故任意五边形 ABCDE 的内角和为:3 × 180◦ .
方案 (二): 基于三角形内角和为 180◦ 以及四边形内角和为的数学活动经验;(1) 从角出发: 如图, 任意五边形 ABCDE, 当其一顶点 D 点向内 移 动 ∠D 增 大 为 平 角 时; 五 边形被自然转化为四边形 ABCE 及一个平角; 故任意五边形的内角和为:(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) + 180◦ = 图 6 360◦ + 180◦ = 3 × 180◦ . (2) 从边出发: 如图, 任意五边形 ABCDE, 当其顶点 D 点沿着 DE 方向运动至 E 点时, 构成线段 CE, 通过比较原五边形 ABCDE 知, 五边形被转化成了一个四边形 ABCE 以及一个 △CDE; 故五边形 ABCDE 的内角和为:360◦+180◦ = 图 7 3 × 180◦
3. 2 归纳总结, 猜想结论, 抓住特征证明猜想环节⃝2 :1. 归纳: 根据以上探究思路, 提出问题 (3): 任意六边形的内角和是多少?教师引导学生自主从边、角两个方向出发完成下面的表格, 归纳总结,“猜想”出 n 边形的内角和公式.
4. 设计反思
4. 1 注重数学设计的自然性, 发挥已有活动经验的基础性本课的思路设计就是基于学生已有的三角形内角和等数学活动经验, 利用寻求任意四边形的内角和作为三角形和 n 边形的衔接点, 引导学生从边、角两方面逐步探究出 n 边形的内角和, 为原来直接利用“分割”法求 n 边形的内角和提供一定依据, 直观体现 n 边形转化为学生已有的三角形内角和等数学活动经验的自然性, 发挥已有活动经验的基础性.
4. 2 以“问题串”, 引导猜想方向, 以“结论特征”证明猜想美国心理学家布鲁纳指出:“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动, 思维永远是从问题开始的. ” [7] 因此, 本文通过 3 个精心设计的“问题串”, 引导学生进行有方向的猜想, 通过学生归纳总结, 合理猜出问题的结论; 引导学生发现结论中的数据特征, 分析出结果中蕴藏的问题解决的策略, 有助于培养学生 的发现思维能力[8] , 提高学生分析问题和解决问题的能力.
4. 3 回顾所学, 提升能力, 奠定基础根据学生已有的活动经验, 根据相邻项两者之间的变化关系找到已有数学活动经验与未知结论之间存在的递推关系, 向学生渗透递推的思想, 提升现在的知识体系, 为今后进一步的学习奠定基础.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准 (2011 年版)[S]. 北京: 北京师范大学出版社, 2012:52.
[2] G. 波利亚. 数学与猜想: 数学中的归纳和类比 (第一卷). 北京: 科学出版社, 2001:89-91.
《基于数学活动经验探究 n 边形的内角和》来源：《中学数学研究》，作者：房香玉 ，李昌勇， 文东。