摘要：文章主要讨论城市交通灯的开启时间间隔的问题，在一些假设的基础之上，把城市交通灯周期时间控制问题进行简化，目的是使得路口的日平均车流量最大。根据实际情况，给出车辆行驶的一套规则，利用计算机仿真技术进行模拟，得到最优交通灯的间隔时间。
关键词：交通灯；车流量；计算机模拟
Abstract: This article focused on the time contorl of the city traffic lights. Under a number of assumptions, the city traffic lights control problem can be converted into a simple model to maxi mize the crossing daily average traffic flow. According to the actual situation, given a set of rules, using computer simulation technology to get the optimal time control of the traffic lights.
Key words: traffic light; vehicle flow; simulation
0引言
在现代社会中，交通问题已成为影响和制约国民经济发展的重大因素，而城市交叉口是城市道路网络的关节点，对其进行深入的研究是解决城市交通问题的关键所在。本文通过建立交通系统运行情况的数学模型，在一定的假设情况下，制定一些符合实际和遵循假设的规则，以模拟道路网络的车辆运行情况的方法，对其进行研究，也就是交通仿真模拟。交通仿真技术是利用现代系统工程和计算机仿真技术成果发展起来的新的交通研究方法，它对于描述多变的、复杂的随机性过程非常有效。通过运用这种仿真技术，在计算机的环境下得以实现，可以更有效地掌握道路交叉口的各种复杂情况，对交通灯的开启时间进行研究，设计出城市交通灯各灯的开启时间，使得车流量最大，这对于城市交通问题的解决，是有着积极推动作用的，即在有限的道路资源条件下，尽可能大的提高交通运输能力。
综上所述，本文所讨论的问题即为设计各路口各方向的交通灯的红、绿灯亮的时间，使得日平均车流量最大。
1基本假设
针对以上提出的问题，作出如下的基本假设：设某城市的道路宽度B都相等，道路上双向行驶车辆，不考虑中途停车，且各方向的车流密度相同，道路网由无数条无限长且互相垂直的等宽（宽为B）的路组成，每个四条道路围成的街区呈正方形，边长为L，所有的车都直线行驶（不转弯、不超车），车长都为S，最大车速为v，行驶时安全车距（车头到前方车尾之距离）为D，停车时安全车距为d，车辆在停车线上从静止到穿过路口车头到达另一停车线（距离为B）所花时间为T=秒。
2问题的简化及其推导
假设1各个路口各个交通灯的周期T是一样的。
这里所说的周期T是指交通灯一次红灯时间T和一次绿灯时间T之和，即T=T+T，并且同时要求各个交通灯的T与T也是一样的。
假设2每条道路具有“状态对称性”。
由于是无限的道路网络，根据基本假设，每条道路的车流密度相同，而且这个网络具有几何对称性，再有周期T相同，可以推出整个道路网络的路况参数（包括车辆数、车距、车流量等）是相同的，也就是说，不存在任何一条有特殊状态的道路，所以说它具有“状态对称性”，即假设是合理的。
结论1设T为一次红灯时间，T为一次绿灯时间，则T=T+2T，其中T=。
证明：当某个路口的其中一个灯（不妨设为横向交通灯）由绿灯变为红灯时，仍然有一辆车正从停车线沿原方向开出，如果纵向的交通灯立即由红灯转为绿灯，则两个方向的车有可能在十字路口相撞，为了交通安全起见，必须使红灯有一个所谓的“滞后时间”，以确保横向开出的最后一辆车安全通过，而一次安全通过的时间为T=。同样，当纵向灯再由绿灯转为红灯时横向灯的红灯也应该有一个“滞后时间”，以保证纵向开出的最后一辆车安全通过，即得T=T+2T。
显然，T=＞0，所以有T＞T＞0，即红灯时间不为零，也就是说，不可能出现某个方向总是绿灯行驶，这也比较符合实际的情况。
结论1保证了每个路口的横向和纵向交通车流的平衡性，即在横向行驶和纵向行驶中做到了一种公平性，以保证每个方向的车流都能通过路口。再由假设2，道路具有“状态对称性”，即横向道路和纵向道路是对称的，所以可以将问题从考察整个道路网络转化为考察一条道路的情形。
结论2每个“B+L路段”的车流量相同。
证明：我们知道，车流量指的是单位时间内通过道路某一个截面车辆的数目。所以车流量是一个关于车辆流状态和周期T的函数，由道路网络的“状态对称性”，可以将一个“B+L路段”进行平移，其状态参量是不变的，则结论3成立。
所以最终将原来对整个网络求日平均车流量转化为对一个单向单道的“B+L路段”求日平均车流量，不妨以这个“B+L路段”中的一条停车线为计算车流量的截面。以下将建立模型并具体求解。
3模型的建立
针对一个单向单道的“B+L路段”，运用道路仿真模拟的方法，即设出每辆车的状态参量，制定出一些“行驶规则”，在计算机的环境下，让车辆流按照“行驶规则”（也就是在一些约束条件下）进行道路交通模拟，最后得出最优值。
对于一个单向单道的“B+L路段”，建立一维坐标轴 Ox，以上一个“B+L路段”的停车线为原点，车辆行驶的方向为x轴正向。设车辆数为n，此路段上的车辆流状态为X,V,A，其中X为位置分布x,x,…,x，V为速度分布v,v,…,v，A为加速度分布a,a,…,a，则对于每一个x,v,a，i=1,…,n，可以确定车i的状态，车辆流i，i=1,…,n，按位置坐标x,0＜x≤B+…，从小到大依次排列，且车n一旦越过停车线（B+L位置），上一路段必有一辆与此车状态相同的车驶入此路段，即为此路段下一状态时的车1，其余各车的下标顺次加1。设在单位时间内经过停车线的车辆数为M（即车流量，单位为：辆/s），则模型为：max M（X,V,A），T，其中一些约束条件如下，T=T+T；T=T+2T；T,T,T＞0。
另外，根据生活实际情况，为了保证横向行驶和纵向行驶的公平性，以及保证道路网络的畅通，则还要的约束条件如下：
（1）不允许一辆车在一个周期内，连续通过两个“十字路口”，（否则会使另一个方向上的车辆等待时间过长）则＞T。
（2）车辆流状态X,V,A满足“行驶规则”（见下文）。
4模型的求解与检验分析
只要确定“B+L路段”上车辆流的初始状态，就可以具体求解。给定如下初始状态（参见[1]）：设t＝0为某红灯转为绿灯的时刻，此时的分布为n＝n1+n2，其中n1为在路口等待的车辆数，且间距为d，其余n2辆车以速度v行驶且在剩余路段均匀分布。以下分别对不同的n（对同一个n，再取几组不同的n1，n2），在以上分布下，进行计算机模拟，得出不同情况下的车流量最大值M及对应的周期最优值T_opt，如下表：
通过分析以上数据得到：
（1）对于同一个n，其不同的初始分布得到的最大车流量M及其相应周期T_opt基本都一样，只有微小的波动。
（2）对不同的n，当n较小时，随着n的增大而增大，其后趋于稳定，最后，当n大到一定程度时，无可行解。
于是对n2＝0时的不同的n求得一组值，用Matlab进行拟合得到如上图。
通过上图进一步弄清了最大车流量M随n的变化趋势：
（1）当n较小时（n<15左右），M与n近似满足线性关系。
（2）当n>25以后，M趋于平稳。
（3）当n>128以后，无可行解。
5对模型的评价及其应用
对于上述的模型有以下几点不足：在运用“行驶规则”编程时，实际上是将一个连续的过程转化为有一定时间步长的离散过程来处理，其中势必会产生误差。但这种误差还是可以接受的，而且随着硬件条件的改善和程序的改进，可以减小步长，增加模拟时间来提高精度，但同时计算机的运行时间也会相应增加。
参考文献：
[1] 刘灿齐，杨晓光． Grace车队密度散布模型的更正及应用[J]. 公路交通科技，2001(1):55-59.
[2] 许波，刘征． Matlab工程数学应用[M]． 北京：清华大学出版社，2000．
[3] 吴翊, 吴孟达, 成礼智. 数学建模的理论与实践[M]. 北京：国防科技大学出版社，1999.